Question

6．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3，q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，p∧q为真，则p真且q真，由此能求出实数x的取值范围．
（2）p是q的必要不充分条件，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A?B，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3，…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…（3分）
若p∧q为真，则p真且q真，…（4分）
∴实数x的取值范围是（2，3）．…（5分）
（2）p是q的必要不充分条件，即q⇒p，且p推不出q，
设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A?B，…（7分）
又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a），
∴当a＞0时，有$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2；…（9分）
当a＜0时，A∩B=∅，不合题意；
∴实数a的取值范围是（1，2]．…（10分）

点评 复合命题p∧q的真假由命题p，q共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为真命题，由若p是q的必要不充分条件可得集合p是集合q的真子集．