Question

1．已知O，N，P在所在△ABC的平面内，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}}|，\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$，则O，N，P分别是△ABC的（　　）

• A． 重心  外心  垂心
• B． 重心  外心  内心
• C． 外心  重心  垂心
• D． 外心  重心  内心

Answer 1

分析 将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．

解答 解：因为且$|\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，所以0到顶点A，B，C的距离相等，所以O为△ABC的外心．
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$得（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）$\overrightarrow{PB}$=0，即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$，所以AC⊥PB．
同理可证AB⊥PC，所以P为△ABC的垂心．
若$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=0，则$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$=-$\overrightarrow{NC}$，取AB的中点E，则$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$=2$\overrightarrow{NE}$=$\overrightarrow{CN}$，所以2|NE|=|CN|，
所以N是△ABC的重心．
故选：C．

点评 本题主要考查三角形外心，重心，垂心的判断，要求熟练掌握外心，重心，垂心和内心的判断条件．