Question

9．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=4$，$|\overrightarrow b|=3$且$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$．
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；
（2）求$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）将$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$展开化简即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值；
（2）计算（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）²，再开方即可得出|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|．

解答 解：（1）∵$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=61，
即4×16-3×9-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=61，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-6．
（2）（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=16+24+36=76，
∴|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{76}$=2$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．