Question

20．已知函数f（x）=log_a（3x²-2ax）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，则实数a的取值范围（0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由对数函数定义域求出x＜0或x＞$\frac{2a}{3}$，当a＞1时，y=3x²-2ax必须是减函数，但是不能保证在[$\frac{1}{2}$，1]大于0；当0＜a＜1时，y=3x²-2ax在区间[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=log_a（3x²-2ax），
∴a＞0，3x²-2ax＞0，∴x＜0或x＞$\frac{2a}{3}$，
当a＞1时，∵函数f（x）=log_a（3x²-2ax）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，
∴y=3x²-2ax必须是减函数，但是不能保证在[$\frac{1}{2}$，1]大于0，∴舍去
当0＜a＜1时，y=3x²-2ax在区间[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，
∴$\frac{2a}{3}$＜$\frac{1}{2}$，再由0＜a＜1，解得0＜a＜$\frac{3}{4}$．
综上，实数a的取值范围是（0，$\frac{3}{4}$）．
故答案为：（0，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，涉及到对数函数、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．