Question

5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形

（1）求f（6）的值
（2）求出f（n）的表达式
（3）求证：当n≥2时，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；
（2）总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；
（3）根据通项特点，利用裂项法求和，结合数列的单调性即可得证．

解答 解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
f（5）=1+4+8+12+16=41，（6）=1+4+8+12+16+20=61；
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1；
（3）证明：当n≥2时，$\frac{1}{f（n-1）}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．
由于g（n）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$为递增数列，
即有g（n）≥g（1）=1，
且g（n）＜$\frac{3}{2}$，
则$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{3}{2}$成立．

点评 本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，同时考查了裂项法求数列的和，属于中档题．