Question

19．如图所示，四棱锥P  ABCD的底面ABCD是平行四边形，BD=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{5}$，∠CDP=90°，E、F分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）求BD与PA所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）取PB中点M，连接MF，AM．可得MF∥BC，且MF=$\frac{1}{2}$BC．再得MF∥AE且MF=AE，得四边形AMFE为平行四边形，即EF∥AM．证得EF∥平面PAB
（2）延长CD至N，使DN=CD，连接PN、AN，则由底面ABCD是平行四边形⇒AB$\underline{\underline{∥}}$DN⇒AN$\underline{\underline{∥}}$BD，所以∠PAN就是所求的角，求∠PAN即可

解答 解：（1）证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM．
因为F为PC中点，所以MF∥BC，且MF=$\frac{1}{2}$BC．
由已知有BC∥AD，BC=AD，
又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF=AE，
故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．
又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB．…（6分）
（2）延长CD至N，使DN=CD，连接PN、AN，则由底面ABCD是平行
四边形⇒AB$\underline{\underline{∥}}$DN⇒AN$\underline{\underline{∥}}$BD，所以∠PAN就是所求的角，
PD垂直平分CN$⇒PN=PC=\sqrt{7}⇒P{N^2}=P{A^2}+A{N^2}⇒∠PAN={90°}$
BD与PA所成的角为90°．…（12分）

点评 本题考查了线面平行、线线角，转化思想是解题关键，属于中档题．