Question

11．已知公差不为零的等差数列{a_n}，若a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ，求数列{b_n-a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₂=1+d、a₅=1+4d，利用a₁，a₂，a₅成等比数列计算可知公差d=2，进而可得结论；
（2）分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算，相加即可．

解答 解：（1）依题意可知，a₂=1+d，a₅=1+4d，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（1+d）²=1+4d，即d²=2d，
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知等差数列{a_n}的前n项和P_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵b_n=2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和Q_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-n²-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查等差数列、等比数列的求和公式，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．