Question

已知奇函数f（x）=5x+sinx+c，x∈（-1，1），如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由于函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，求出c=0，再由导数判断f（x）在定义域内为单调递增函数，所以f（1-x）+f（1-x²）＞0?f（1-x）＞-f（1-x²），由奇函数和单调递增，进行求解即可．

解答： 解：奇函数f（x）=5x+sinx+c，x∈（-1，1），
则f（0）=0，即有c=0，
则f（x）=5x+sinx，
∴f（1-x）+f（1-x²）＜0?f（1-x）＜-f（1-x²）=f（x²-1），
又f′（x）=5+cosx＞0，
∴f（x）为增函数，
∴-1＜1-x＜x²-1＜1，
解得：x＜2且x＞1或x＜-2且-

2

＜x＜

2

，
解得，1＜x＜

2

．
故答案为：（1，

2

）．

点评：此题考查了利用函数的单调性及奇偶性解不等式，还考查了运算能力及集合的交集．