Question

8．已知四边形ABCD的对角线相交于一点，$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（$-\sqrt{3}$，1），则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 通过向量的模及数量积的计算可确定四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，通过建立坐标系，利用数量积的坐标运算计算可得结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（$-\sqrt{3}$，1），
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=2，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
不妨设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，
则AO=2-x，BO=2-y，
从而$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=（0+2-x，y-2）•（0-x，y-0）
=x²+y²-2（x+y）
=（x-1）²+（y-1）²-2，
∵0＜x、y＜2，
∴当x=y=1时，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$取最小值-2，
故选：C．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．