Question

9．已知$x，y∈（0，+∞），{2^{x-3}}={（{\frac{1}{2}}）^y}$，若$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}（m＞0）$的最小值为3，则m等于（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 2^x-3=$（\frac{1}{2}）^{y}$=2^-y，可得：x+y=3，m，x，y∈R⁺，$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=$\frac{1}{3}$（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{m}{y}）$=$\frac{1}{3}$（1+m+$\frac{y}{x}+\frac{mx}{y}$），利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵2^x-3=$（\frac{1}{2}）^{y}$=2^-y，∴x-3=-y，
∴x+y=3，m，x，y∈R⁺，
∴$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=$\frac{1}{3}$（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{m}{y}）$=$\frac{1}{3}$（1+m+$\frac{y}{x}+\frac{mx}{y}$）≥$\frac{1}{3}$$（1+m+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{mx}{y}}）$=$\frac{1}{3}（1+m+2\sqrt{m}）$=3，当且仅当$y=\sqrt{m}$x时取等号．
∴$（\sqrt{m}）^{2}$+2$\sqrt{m}$-8=0，m＞0．
解得$\sqrt{m}$=2，即m=4．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．