Question

4．已知动圆过定点（0，2），且在x轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求直线x-4y+2=0与曲线C围成的区域面积；
（2）点P在直线l：x-y-2=0上，点Q（0，1），过点P作曲线C的切线PA、PB，切点分别为A、B，证明：存在常数λ，使得|PQ|²=λ|QA|•|QB|，并求λ的值．

Answer 1

分析 （1）设动圆圆心的坐标为（x，y），由题意得|y|²+2²=x²+（y-2）²，从而x²=4y，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{x-4y+2=0}\end{array}\right.$，求出$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，由此利用定积分能求了直线x-4y+2=0与曲线C围成的区域面积．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意得切线PA的方程为y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），切线PB的方程为y-y₂=$\frac{{x}_{2}}{2}（x-{x}_{2}）$，设P（x₀，y₀），则直线AB的方程为$y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}$，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-2x₀x+4y₀=0，从而x²-2x₀x+4（x₀-2）=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出结果．

解答 解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y），
∵动圆过定点（0，2），且在x轴上截得的弦长为4，
∴由题意得|y|²+2²=x²+（y-2）²，
化简，得：x²=4y，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{x-4y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线x-4y+2=0与曲线C围成的区域面积为：
${∫}_{-1}^{2}（\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}{x}^{2}）dx$
=（-$\frac{{x}^{3}}{12}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}x$）${|}_{-1}^{2}$=$\frac{9}{8}$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意得切线PA的方程为y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），
切线PB的方程为y-y₂=$\frac{{x}_{2}}{2}（x-{x}_{2}）$，
设P（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}-{y}_{1}=\frac{{x}_{1}}{2}（{x}_{0}-{x}_{1}）}\\{{y}_{0}-{y}_{2}=\frac{{x}_{2}}{2}（{x}_{0}-{x}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴直线AB的方程为${y}_{0}-y=\frac{x}{2}（{x}_{0}-x）$，
∴${y}_{0}-y=\frac{x}{2}•{x}_{0}-\frac{1}{2}•4y$，即$y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-2x₀x+4y₀=0，
又y₀=x₀-2，
∴x²-2x₀x+4（x₀-2）=0，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4x₀-8，
|PQ|²=${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$+（x₀-3）²=2x₀²-6x₀+9，
|QA|•|QB|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+y₁+y₂+1
=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+1
=$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}+\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+1
=$\frac{（4{x}_{0}-8）^{2}}{16}+\frac{（2{x}_{0}）^{2}-2（4{x}_{0}-8）}{4}$+1
=$2{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+9$，
∴$λ=\frac{|PQ{|}^{2}}{|QA|•|QB|}$=1．

点评 本题考查直线方程、抛物线、定积分、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．