Question

15．在平面直角坐标系中，已知两定点E（1，0）、$G（6，\frac{3}{2}）$，⊙C的方程为x²+y²-2mx+（10-2m）y+10m-29=0．当⊙C的半径取最小值时：
（1）求出此时m的值，并写出⊙C的标准方程；
（2）在x轴上是否存在异于点E的另外一个点F，使得对于⊙C上任意一点P，总有$\frac{{|{PE}|}}{{|{PF}|}}$为定值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明你的理由；
（3）在第（2）问的条件下，求$μ=\frac{{4{{|{PG}|}^2}-{{|{PE}|}^2}-6|{PE}|}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用配方和二次函数的最值求法，即可得到所求圆的方程；
（2）设P（x，y），定点F（m，0）（m为常数），运用两点的距离公式，化简整理，再由恒等式的性质，即可得到定点F的坐标和$\frac{{|{PE}|}}{{|{PF}|}}$的定值；
（3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有$|{PF}|=\frac{1}{2}|{PE}|$，可得||PG|-|PF||≤|FG|（当P、F、G三点共线时取等号），又$|{FG}|=\frac{5}{2}$，故2|PG|-|PE|∈[-5，5]．化简μ的关系式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）⊙C的方程为x²+y²-2mx+（10-2m）y+10m-29=0
可得⊙C的标准式为：（x-m）²+[y-（m-5）]²=2（m-5）²+4，
当m=5时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为（x-5）²+y²=4；
（2）设P（x，y），定点F（m，0）（m为常数），则${λ^2}=\frac{{{{|{PE}|}^2}}}{{{{|{PF}|}^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}{{{{（x-m）}^2}+{y^2}}}$．
∵（x-5）²+y²=4，∴y²=4-（x-5）²，代入上式，
得：${λ^2}=\frac{{{{（x-1）}^2}+4-{{（x-5）}^2}}}{{{{（x-m）}^2}+4-{{（x-5）}^2}}}=\frac{8x-20}{{（10-2m）x-（21-{m^2}）}}$．
由于λ取值与x无关，∴$\frac{8}{10-2m}=\frac{20}{{21-{m^2}}}⇒m=4$（m=1舍去）．
此时点F的坐标为（4，0），λ²=4即λ=2；
（3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有$|{PF}|=\frac{1}{2}|{PE}|$，
故$2|{PG}|-|{PE}|=2（{|{PG}|-\frac{1}{2}|{PE}|}）=2（{|{PG}|-|{PF}|}）$，
而||PG|-|PF||≤|FG|（当P、F、G三点共线时取等号），
又$|{FG}|=\frac{5}{2}$，故2|PG|-|PE|∈[-5，5]．
∴$μ=\frac{{4{{|{PG}|}^2}-{{|{PE}|}^2}-6|{PE}|}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|=\frac{{{{（2|{PG}|）}^2}-{{（|{PE}|+3）}^2}+9}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$
=$\frac{{（2|{PG}|+|{PE}|+3）（2|{PG}|-|{PE}|-3）+9}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$
=$（2|{PG}|-|{PE}|-3）+\frac{9}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}+6$，
令t=2|PG|-|PE|-3（t∈[-8，0）∪（0，2]），则$μ=t+\frac{9}{t}+6$，
根据对勾函数的单调性可得：
当0＜t≤2，可得函数递减，可得μ≥$\frac{25}{2}$；
当-8≤t＜0，可得t+$\frac{9}{t}$+6≤-2$\sqrt{（-t）•\frac{9}{-t}}$+6=0，
可得$μ∈（{-∞，0}]∪[{\frac{25}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查圆的方程的一般式和标准式，考查线段长的比为定值的求法，以及实数的取值范围，注意运用两点的距离公式和转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．