Question

7．若f（x）的定义域为R，f′（x）＞3恒成立，f（1）=9，则f（x）＞3x+6解集为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （1．+∞）

Answer 1

分析 利用条件，构造函数F（x）=f（x）-3x-6，对F（x）求导，结合题意分析F′（x）=f′（x）-3＞0，即函数F（x）在R上单调递增，结合题意计算F（1）的值，结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，设F（x）=f（x）-3x-6，
则F'（x）=f'（x）-3，
因为f′（x）＞3恒成立，所以F′（x）=f′（x）-3＞0，即函数F（x）在R上单调递增．
因为f（1）=9，所以F（1）=f（1）-3-6=9-3-6=0．
所以所以由F（x）=f（x）-3x-6＞0，即F（x）=f（x）-3x-6＞F（1）．
所以x＞1，
即不等式f（x）＞3x+6解集为（1，+∞）；
故选：D．

点评 本题主要考查导数与函数单调性的关系，利用条件构造函数是解决本题的关键．