Question

2．已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^xg（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，在有穷数列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和不小于$\frac{63}{64}$的k的取值范围是（　　）

• A． [6，10]且k∈N^*
• B． （6，10]且k∈N^*
• C． [5，10]且k∈N^*
• D． [1，6]且k∈N^*

Answer 1

分析 令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，由题意f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^xg（x）可知0＜a＜1，由$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，可知a=$\frac{1}{2}$，由此可知S_n的表达式，得到前k项和不小于$\frac{63}{64}$的k的取值范围．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，由题意f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），得到h'（x）=$\frac{f'（x）g（x）-f（x）g'（x）}{{g}^{2}（x）}$，可知0＜a＜1，由$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，可知a=$\frac{1}{2}$，
故h（x）=a^x单调递减，所以0＜a＜1，
则有穷数列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$即{$\frac{1}{{2}^{n}}$}（n=1，2，…，10）中，
其前n项和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，所以1-$\frac{1}{{2}^{k}}$$≥\frac{63}{64}$，解得k≥6，所以前k项和不小于$\frac{63}{64}$的k的取值范围是[6，10]且k∈N；
故选A．

点评 本题考查概率的求法和导数的性质，解题时要注意公式的灵活运用．