Question

10．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且$f（x）=-{x^3}+3f'（2）x+\int_0^2{f（x）dx}$，则$\int_0^2{f（x）dx}$=-32．

Answer 1

分析 设$\int_0^2{f（x）dx}=a$，根据导数得运算法则，求出函数f（x）的表达式，再根据定积分的计算法则即可求出

解答 解：设$\int_0^2{f（x）dx}=a$，则f（x）=-x³+3f'（2）x+a，所以，f'（x）=-3x²+3f'（2），
令x=2，求得f'（2）=6，故f（x）=-x³+18x+a，
因此，$\int_0^2{f（x）dx}=\int_0^2{（-{x^3}+18x+a）dx=（-\frac{1}{4}{x^4}+9{x^2}+ax）|_0^2=32+2a}$，
则有32+2a=a，得a=-32．
故答案为：-32．

点评 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于中档题