Question

6．给出下列语句：
①若a，b为正实数，a≠b，则a³+b³＞a²b+ab²；
②若a，b，m为正实数，a＜b，则$\frac{a+m}{b+m}＜\frac{a}{b}$
③若$\frac{a}{c^2}＞\frac{b}{c^2}$，则a＞b；
④当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sin x+$\frac{2}{sinx}$的最小值为2$\sqrt{2}$，其中结论正确的是①③．

Answer 1

分析 ①，若a，b∈R₊，a≠b，∵a³+b³-（a²b+ab²）=（a-b）²（a+b）＞0；
②，若a，b，m∈R₊，a＜b，作差判断即可；
③不等式中c≠0，不等式的两边同乘以c²，判断结论即可；
④，当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx∈（0.1），结合不等式的性质判断即可．

解答 解：对于①，若a，b∈R₊，a≠b，
∵a³+b³-（a²b+ab²）=（a-b）²（a+b）＞0，
故a³+b³＞a²b+ab²正确；
对于②，若a，b，m∈R₊，a＜b，
则 $\frac{a+m}{b+m}$-$\frac{a}{b}$=$\frac{m（b-a）}{b（b+m）}$＞0，
则 $\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$故错；
对于③，若$\frac{a}{c^2}＞\frac{b}{c^2}$，则a＞b，故正确；
对于④，当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，
若sin x+$\frac{2}{sinx}$的最小值为2$\sqrt{2}$，
则sinx=$\sqrt{2}$，显然不成立，故错误，
故答案为：①③．

点评 本题考查了命题的真假判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题．