Question

10．已知函数f（x）=lnx，g（x）=0.5x²-bx，（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上不单调，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程，联立二次函数，由判别式为0，解方程即可得到b的值；
（2）求出h（x）的导数，可得h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，由二次函数的性质，可得b的不等式，即可得到b的范围．

解答 解：（1）因为f（x）=lnx，所以$f'（x）=\frac{1}{x}$，因此f′（1）=1，
所以函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x^2}-bx}\end{array}$得x²-2（b+1）x+2=0．
由△=4（b+1）²-8=0，得$b=-1±\sqrt{2}$．
（2）因为h（x）=f（x）+g（x）=lnx+0.5x²-bx（x＞0），
所以$h'（x）=\frac{1}{x}+x-b=\frac{{{x^2}-bx+1}}{x}$，
若函数在定义域内不单调，则
可知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
因为x＞0，设u（x）=x²-bx+1，因为u（0）=1＞0，
则只要$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}＞0}\\{{b^2}-4＞0}\end{array}$解得b＞2，
所以b的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查转化思想和二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．