Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n+n（n∈N^*），求得首项，并得到S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2），两式作差即可得到数列{a_n-1}是首项为-2、公比为2的等比数列，求出等比数列的通项公式可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入b_n=na_n，分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n+n（n∈N^*），
∴S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-1-1，
变形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁-1=-1-2=-2，
∴数列{a_n-1}是首项为-2、公比为2的等比数列，
∴a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，
则${a}_{n}=1-{2}^{n}$；
（2）b_n=na_n =n（1-2ⁿ）=n-n•2ⁿ．
∴T_n =b₁+b₂+…+b_n=（1+2+…+n）-（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）
=$\frac{n（n+1）}{2}-{R}_{n}$，（${R}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+…+n•{2}^{n}$）
由${R}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+…+n•{2}^{n}$，得：
$2{R}_{n}=1•{2}^{2}+2•{2}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n}+n•{2}^{n+1}$，
∴$-{R}_{n}={2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}={2}^{n+1}-2-n•{2}^{n+1}$，
∴${R}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．
∴${T}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}-（n-1）•{2}^{n+1}-2$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和与错位相减法求和，是中档题．