Question

19．在△ABC中，AB=2AC=2，AD是BC边上的中线．
（Ⅰ）求sin∠CAD：sin∠BAD；
（Ⅱ）若∠B=30°，求AD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD是BC边上的中线．可得$\frac{1}{2}AC•ADsin∠CAD$=$\frac{1}{2}$AB•ADsin∠BAD，即可解得sin∠CAD：sin∠BAD．
（Ⅱ）设BC=x，在△ABC中，由余弦定理可得：x²-2$\sqrt{3}$x+3=0，解得x=$\sqrt{3}$，由勾股定理可得AC⊥BC，可求AD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵AD是BC边上的中线．
∴S_△ACD=S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}AC•ADsin∠CAD$=$\frac{1}{2}$AB•ADsin∠BAD，
∴sin∠CAD：sin∠BAD=AB：AC=2：1…6分
（Ⅱ）设BC=x，在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=BA²+BC²-2BA•BCcos∠ABC，
化简可得：x²-2$\sqrt{3}$x+3=0，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴AC²+BC²=BA²，
∴AC⊥BC，
∴AD²=AC²+CD²=$\frac{7}{4}$，故AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．