Question

8．已知f（x）=ax²-（a+1）x+1-b（a，b∈R）．
（1）若a=1，不等式f（x）≥x-1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；
（2）若b=0，函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若f（-1）=0，且|a-b|≤t（t＞0），求a²+b²+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的性质求出a的值即可．
（3）利用消元法消去b，构造关于a的函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）若a=1，则f（x）=x²-2x+1-b，
则不等式f（x）≥x-1在b∈[6，17]上有解，等价为不等式x²-2x+1-b≥x-1在b∈[6，17]上有解，
即x²-3x+2≥b在b∈[6，17]上有解，
即x²-3x+2≥6，得x²-3x-4≥0，
即x≥4或x≤-1．
（2）若b=0，则g（x）=$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$=ax-（a+1）+$\frac{1}{x}$，
若g（x）是奇函数，
则g（-x）=-g（x），即-ax-（a+1）-$\frac{1}{x}$=-（ax-（a+1）+$\frac{1}{x}$）=-ax+（a+1）-$\frac{1}{x}$，
即-（a+1）=a+1，则a+1=0，则a=-1．
即g（x）=-x+$\frac{1}{x}$，
当x＞0时，函数y=-x为减函数，y=$\frac{1}{x}$为减函数，
则g（x）=-x+$\frac{1}{x}$为减函数．
（3）若f（-1）=0，则2a+2-b=0，即b=2a+2，
∵|a-b|≤t（t＞0），
∴-2-t≤a≤-2+t，
a²+b²+b=a²+（2a+2）²+2a+2=5a²+10a+6，
令g（a）=5a²+10a+6，对称轴为a=-1，
∵t＞0，
∴-2-t＜-2＜-1，
①若0＜t≤1，则-2+t≤-1，则g（a）_min=g（-2+t）=5t²-10t+6，
②若t＞1，则-2+t＞-1，则g（a）_min=g（-1）=1．

点评 本题主要考查与一元二次函数有关的性质，考查函数是奇偶性和单调性的判断，利用构造法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．