Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（1）=-

a

2

，且3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0时，

b

a

的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（1）=0，可得a，b，c的关系，再根据3a＞2c＞2b，将其中的c代换成a与b表示，即可求得

b

a

的取值范围；
（2）求出f（2）的值，根据已知条件，分别对c的正负情况进行讨论即可；
（3）根据韦达定理，将|x₁-x₂|转化成用两个根表示，然后转化成用

b

a

表示，运用（1）的结论，即可求得|x₁-x₂|的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=-3a-2b及3a＞2c＞2b知3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0，∴3＞-3-

2b

a

＞2

b

a

，
即-3＜

b

a

＜-

3

4

．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a-c=a-c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=-

a

2

＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=-

a

2

＜0，f（2）=a-c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）．∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根．
故x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

=

- 3a+2b 2

a

=-

3

2

-

b

a

从而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
∵-3＜

b

a

＜-

3

4

，
∴

2

≤|x₁-x₂|＜

57

4

．

点评：本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．