Question

如图，已知⊙O的内接四边形ABCD，AC和BD交与点P，AC⊥BD，AC=10，BD=14，

S△BDC

S△ABD

=6

S△PBC

S△PAD

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，连结OA，由已知条件推导出PD=6PB，由△PAD∽△PBC，解得PA=4或PA=6，不妨设PA=4，PC=6，由此能求出⊙O的半径．

解答： 解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，连结OA，
∵E、F分别是AC、BD的中点，且四边形OEPF是矩形，
∴S△PBC=

1

2

PB•PC，S△PAD=

1

2

PA•PD，
S△BDC=

1

2

BD•PC，S△ABD=

1

2

BD•PA，
∴

S△BDC

S△ABD

=

PC

PA

，

S△PBC

S△PAD

=

PB•PC

PA•PD

，
∵

S△BDC

S△ABD

=6

S△PBC

S△PAD

，∴

PC

PA

=

6PB•PC

PA•PD

，
∴PD=6PB，
∵PB+PD=14，∴PB=2，PD=12，
∵△PAD∽△PBC，∴

PA

PB

=

PD

PC

，
∴PA•PC=PB•PD=24，∴PA（10-PA）=24，
∴PA²-10PA+24=0，
解得PA=4或PA=6，
不妨设PA=4，PC=6，
则OE=PF=

1

2

BD-PB=5，AE=

1

2

AC=5，
∴OA=

AE2+OE2

=5

2

，
∴⊙O的半径为5

2

．

点评：本题考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形面积公式、三角形相似、圆的性质等知识点的合理运用．