Question

已知m＞0，n＞0，向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，且

a

⊥(

a

+

b

)，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

• A、9
• B、16
• C、18
• D、8

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,基本不等式

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的垂直与数量积的关系可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，
∴

a

+

b

=（m+1，n-2）．
∵

a

⊥(

a

+

b

)，
∴m+1+n-2=0，
化为m+n=1．
∵m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

4

n

=（m+n）(

1

m

+

4

n

)=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9．当且仅当n=2m=

2

3

时取等号．
∴

1

m

+

4

n

的最小值为9．
故选：A．

点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．