Question

f（x）=2cos²xsin2x-sin2x+

1

2

cos4x．
（1）f（x）的最小正周期及最大值；
（2）x∈（

π

2

，π），且f（x）=

2

2

，求x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

2

2

sin（4x+

π

4

），由周期公式可得T，由正弦函数的性质可得函数的最大值．
（2）由f（x）=

2

2

=

2

2

sin（4x+

π

4

），解得：x=

kπ

2

+

π

16

，k∈Z由x∈（

π

2

，π），即可解得x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²xsin2x-sin2x+

1

2

cos4x=（1+cos2x）sin2x-sin2x+

1

2

cos4x=

1

2

（sin4x+cos4x）=

2

2

sin（4x+

π

4

），
∴由周期公式可得：T=

2π

4

=

π

2

，
∴由正弦函数的性质可得：f（x）_max=

2

2

．
（2）∵f（x）=

2

2

=

2

2

sin（4x+

π

4

），
∴sin（4x+

π

4

）=1，可解得：4x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴解得：x=

kπ

2

+

π

16

，k∈Z
∵x∈（

π

2

，π），
∴x=

9π

16

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，熟练使用相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．