Question

如图，已知AD为⊙O的直径，直线BA与⊙O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G．求证：BA•DC=GC•AD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°，又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°，因为∠BAG=∠ADC，所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以

BA

AD

=

AG

DC

，由此能够证明BA•DC=GC•AD．

解答： 证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以Rt△AGB∽Rt△DCA，
所以

BA

AD

=

AG

DC

，
又因为OG⊥AC，所以GC=AG
所以

BA

AD

=

GC

DC

，故BA•DC=GC•AD．

点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．