Question

6．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，则不等式f（e^x）＞$\frac{{e}^{x}+1}{2}$的解集为（-∞，0）．

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，利用对任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，判断g（x）的单调性．利用g（x）与f（x）的关系以及单调性求解．

解答 解：根据题意，构造函数，设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
那么：g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）为减函数，
不等式f（e^x）＞$\frac{{e}^{x}+1}{2}$=$\frac{1}{2}{e}^{x}+\frac{1}{2}$，
∵f（1）=1，∴g（1）=$\frac{1}{2}$=g（e⁰）
即g（e^x）=f（e^x）$-\frac{1}{2}$e^x$＞\frac{1}{2}$
等价于g（e^x）＞g（e⁰）
∵g（x）为减函数，e^x＜e⁰．
解得：x＜0
∴不等式解集为（-∞，0）
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查利用导函数判断函数单调性，构造函数g（x），确定函数的单调性是关键