Question

15．某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：

结算所需的时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；
（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
（注：将频率为概率）

Answer 1

分析 （1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，求出Y的分布，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．由此能求出结果．
（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟；X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟；X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，得Y的分布如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：
①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；
②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．
所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．
（2）X所有可能的取值为：0，1，2．
①X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
②X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，
或第一个顾客结算所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
③X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．