Question

10．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x，x∈[0，$\frac{π}{3}$]．若m是使不等式f（x）≤a-$\sqrt{2}$恒成立的a的最小值，则cos$\frac{m^2}{6}$π=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用两角和与差的余弦及二倍角的余弦化简，再由辅助角公式化为$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，由x的范围求得f（x）的最小值得到m值，代入cos$\frac{m^2}{6}$π得答案．

解答 解：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}cos2x$
=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}-cos2x$=$-（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）+\frac{1}{2}$=$-sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
∴$f（x）_{max}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，
由f（x）≤a-$\sqrt{2}$恒成立，得a$≥\sqrt{2}$，即m=$\sqrt{2}$．
∴cos$\frac{m^2}{6}$π=$cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了恒成立问题的求解方法，是中档题．