Question

14．数列{a_n}的前n项和S_n=An²+Bn（A，B是常数）是数列{a_n}是等差数列的什么条件？

Answer 1

分析 由等差数列的求和公式和通项公式，分别证明必要性和充分性即可．

解答 证明：充分性：当n=1时，a₁=A+B；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2An+B-A，
显然当n=1时也满足上式，
∴a_n-a_n-1=2A
∴{a_n}是等差数列．
必要性：∵数列{a_n}为等差数列，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
令A=$\frac{d}{2}$，B=a₁-$\frac{d}{2}$，则S_n=An²+Bn（A，B是常数）．
综上，“S_n=An²+Bn（A，B是常数）”是“数列{a_n}为等差数列”的充要条件．

点评 本题考查了等差数列的充要条件、通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．