【题目】已知椭圆的一个焦点为,且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为的直线过点,且与椭圆交于两点, 为直线上的一点,若△为等边三角形,求直线的方程.
【答案】(1);(2)直线的方程为,或.
【解析】试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、两点间距离公式、直线的方程等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的标准方程中a,b,c的关系,焦点坐标,离心率列出方程组,解出a和b,从而得到椭圆的标准方程;第二问,点斜式设出直线方程,由于直线与椭圆交于A,B,则直线与椭圆方程联立消参得到关于x的方程,设出A,B点坐标,利用韦达定理,得到, ,再结合两点间距离公式求出的长,利用中点坐标公式得出AB中点M的坐标,从而求出|MP|的长,利用为正三角形,则,列出等式求出k的值,从而得到直线的方程.
(1)依题意有, .
可得, .
故椭圆方程为. 5分
(2)直线的方程为.
联立方程组
消去并整理得.
设, .
故, .
则.
设的中点为.
可得, .
直线的斜率为,又,
所以.
当△为正三角形时,,
可得,
解得.
即直线的方程为,或. 13分
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【题目】如图,已知四棱锥的侧棱底面,且底面是直角梯形,,,,点在侧棱上.
(1)求证:平面;
(2)若侧棱与底面所成角的正切值为,点为侧棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值.
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【题目】已知全集U=R,集合A={x|x<﹣4,或x>2},B={x|﹣1≤2x﹣1﹣2≤6}.
(1)求A∩B、(UA)∪(UB);
(2)若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集,求实数k的取值范围.
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【题目】在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣)= , C与l有且仅有一个公共点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB= , 求|OA|+|OB|的最大值.
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【题目】下列各组函数,在同一直角坐标系中f(x)与g(x)相同的一组是( )
A.f(x)= ,g(x)=
B.f(x)= ,g(x)=x﹣3
C.f(x)= ,g(x)=
D.f(x)=x,g(x)=lg(10x)
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【题目】如图F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是
( )
A.
B.
C.
D.
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