Question

4．已知双曲线C经过点（2，3），它的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，椭圆C₁与双曲线C有相同的焦点，椭圆C₁的短轴长与双曲线C的实轴长相等．
（1）求双曲线C和椭圆C₁的方程；
（2）经过椭圆C₁左焦点F的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）双曲线C和椭圆C₁的方程为：3x²-y²=λ，则λ=3×2²-3²=3．
设椭圆C₁的方程；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$
椭圆C₁的短轴长与双曲线C的实轴长相等，椭圆C₁与双曲线C有相同的焦点（±2，0）
即即可得b、c、a
（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上，
设D（a，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
要使∠ADF=∠BDF，即直线AD、BD的斜率互为相反数，即$\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{1}-a}+\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{2}-a}=0$，求得a

解答 解：（1）双曲线C和椭圆C₁的方程为：3x²-y²=λ，则λ=3×2²-3²=3．
∴双曲线C的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
设椭圆C₁的方程；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$
椭圆C₁的短轴长与双曲线C的实轴长相等，
∴椭圆C₁的短轴长为2b=2，椭圆C₁与双曲线C有相同的焦点（±2，0），
即c=2，∴a=$\sqrt{5}$，椭圆C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，
∵F（-2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上，
设D（m，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
∵∠ADF=∠BDF，∴直线AD、BD的斜率互为相反数，
即$\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{1}-a}+\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{2}-a}=0$，
k=0时恒成立．
k≠0时，m=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}+4}=-\frac{5}{2}$；
∴存在定点D（-$\frac{5}{2}$，0），使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF．

点评 本题考查了双曲线的方程，及存在性问题，转化思想是解题关键，属于中档题．