Question

12．已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？

Answer 1

分析 （1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，可得恰含有病毒的概率为$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$．第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．

解答 解：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：
第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，
则恰含有病毒的概率为$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，
恰第一个样品含有病毒的概率为$\frac{{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$×$\frac{1}{{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．
（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，
P（ξ=1）=P（η=10）=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=2）=P（η=18）=$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=3）=P（η=24）=$\frac{5}{6}×$$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=4）=P（η=30）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=5）=P（η=36）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴方案甲所需化验费用η的分布列为：

η	10	18	24	30	36
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

用方案甲平均需要化验费E（η）=$10×\frac{1}{6}$+$18×\frac{1}{6}$+24×$\frac{1}{6}$+30×$\frac{1}{6}$+36×$\frac{1}{3}$=$\frac{77}{3}$（元）．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．