Question

5．已知抛物线C：y²=4x焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于Q点，过Q作QD⊥MF于点D，若|MD|=2|FN|，则|MF|=$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 直线MN的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，求出k的值可得M的坐标，即可得出结论．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
2|FN|=|MD|，可得2（x₂+1）=|MD|，
∵$\frac{MD}{MF}=\frac{MQ}{MP}$，∴$\frac{2（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$，∴x₂=$\frac{1}{2}{x}_{1}$-1，
联立可得x₁=2+$\frac{8}{3{k}^{2}}$，
∵x₁=$\frac{{k}^{2}+2+2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∴2+$\frac{8}{3{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+2+2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∴3k²=4$\sqrt{3}$+4，
∴x₁=$\sqrt{3}$+1，
∴|MF|=$\sqrt{3}$+2，
故答案为$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．