Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=1，${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{3^n}{a_n}（n∈{N^*}）$，则该数列的前2017项和S₂₀₁₇=3¹⁰⁰⁹-2．

Answer 1

分析 由a₁=1，${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{3^n}{a_n}（n∈{N^*}）$，可得a_n+1a_n=3ⁿ，n=1时，a₂=3．n≥2时，a_na_n-1=3^n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3．因此数列{a_n}的奇数项与偶数项都成等比数列，公比为3．即可得出．

解答 解：∵a₁=1，${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{3^n}{a_n}（n∈{N^*}）$，∴a_n+1a_n=3ⁿ，n=1时，a₂=3．
n≥2时，a_na_n-1=3^n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项都成等比数列，公比为3．
∴S₂₀₁₇=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{3}^{1009}-1}{3-1}$+$\frac{3（{3}^{1008}-1）}{3-1}$=3¹⁰⁰⁹-2．
故答案为：3¹⁰⁰⁹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．