Question

2．观察下列三角形数表：

假设第n行的第二个数为${a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，
（1）归纳出a_n+1与a_n的关系式，并求出a_n的通项公式；
（2）设a_nb_n=1（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用数列的关系归纳出a_n+1与a_n的关系式，利用累加法求解即可．
（2）利用放缩法化简通项公式，通过裂项消项法求解即可．

解答 解：（1）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，
${a_n}={a_2}+（{{a_3}-{a_2}}）+（{{a_4}-{a_3}}）+…+（{{a_n}-{a_{n-1}}}）=2+2+3+…+（{n-1}）=2+\frac{{（{n-2}）（{n+1}）}}{2}$，
所以${a_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+1（{n≥2}）$；
（2）因为a_nb_n=1，所以${b_n}=\frac{2}{{{n^2}-n+2}}＜\frac{2}{{{n^2}-n}}=2（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$，${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}＜2[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）}]=2（{1-\frac{1}{n}}）＜2$．

点评 本题考查数列的应用，放缩法的应用，数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力．