Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=3+t}\end{array}\right.（t为参数）$，曲线C₂：x²+（y-1）²=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线l：θ=α（ρ＞0）分别交C₁，C₂于A，B两点，求$\frac{|OB|}{|OA|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁普通方程为x+y=6可得曲线C₁的极坐标方程；先将曲线C₂化为x²+y²-2y=0，进而可得曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），0＜α＜$\frac{3π}{4}$，则ρ₁=$\frac{6}{cosα+sinα}$，ρ₂=2sinα，可得$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{1}{3}$sinα（cosα+sinα），进而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=3+t}\end{array}\right.（t为参数）$，普通方程为x+y=6，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=6；
曲线C₂：x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，∴ρ=2sinθ；
（Ⅱ）设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），0＜α＜$\frac{3π}{4}$，
则ρ₁=$\frac{6}{cosα+sinα}$，ρ₂=2sinα，…（6分）
$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{1}{3}$sinα（cosα+sinα）
=$\frac{1}{6}$（sin2α+1-cos2α）=$\frac{1}{6}$[$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1]，…（8分）
当α=$\frac{3π}{8}$时，$\frac{|OB|}{|OA|}$取得最大值$\frac{1}{6}$（$\sqrt{2}$+1）．…（10分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的极坐标方程，圆的参数方程，三角函数的最值，难度中档．