Question

18．已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos45°}\\{y=-2+tsin45°}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M、N．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；
（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos45°}\\{y=-2+tsin45°}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程：x-y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a＞0），
∴ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），
∴曲线C的普通方程：y²=2ax；
（2）∵y²=2ax；
∴x≥0，
设直线l上点M、N对应的参数分别为t₁，t₂，（t₁＞0，t₂＞0），
则|PM|=t₁，|PN|=t₂，
∵|PM|=|MN|，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$|PN|，
∴t₂=2t₁，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos45°}\\{y=-2+tsin45°}\end{array}\right.$（t为参数），代入y²=2ax得
t²-2$\sqrt{2}$（a+2）t+4（a+2）=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（a+2），
t₁t₂=4（a+2），
∵t₂=2t₁，
∴a=$\frac{1}{4}$．

点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．