Question

【题目】如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.
（1）求证:圆心O在AD上;
（2）求证:CD=CG;
（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,

∴CD=CF=BE=BD.

∴D为BC的中点,

∴AD是∠BAC的平分线,

∴圆心O在AD上.

（2）证明：如图,连接DF.

∵O在AD上,

∴DH为直径,

∴∠DFH=90°.

∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,

∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠CFG,

∴CG=CF,∴CG=CD.

（3）解:∵∠AFH=90°-∠CFD=90°-∠FDC=∠FDA,又∠FAD为公共角,则△AHF∽△AFD.

∴

∴在Rt△HFD中,FH∶FD∶DH=3∶4∶5.

∵△HDF∽△DGF,

∴DF∶GF∶DG=3∶4∶5.

又∵CG=10,∴GD=20.

∴DF=3×20× =12,

∴FH= FD=9.

【解析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形根据三角形相似性以及边角关系计算即可