Question

3．若不等式$\frac{1}{2}{x^2}-{y^2}$≤2cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．

Answer 1

分析 把$\frac{1}{2}{x^2}-{y^2}$≤2cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，转化为4c≤$\frac{{x}^{2}-2{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$=$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-2}{\frac{x}{y}-（\frac{x}{y}）^{2}}$，换元后利用导数求函数的最小值，可得4c的最大值，可得c的最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}{x^2}-{y^2}$≤2cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，
∴4c≤$\frac{{x}^{2}-2{y}^{2}}{xy-{x}^{2}}$=$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-2}{\frac{x}{y}-（\frac{x}{y}）^{2}}$，
令$\frac{x}{y}$=t＞1，∴4c≤$\frac{{t}^{2}-2}{t-{t}^{2}}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}-2}{t-{t}^{2}}$，则f′（t）=$\frac{{t}^{2}-4t+2}{（t-{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{（t-2-\sqrt{2}）（t-2+\sqrt{2}）}{（t-{t}^{2}）^{2}}$，
当t＞2+$\sqrt{2}$时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+$\sqrt{2}$时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．
∴当t=2+$\sqrt{2}$时，f（t）取得最小值，f（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-4．
∴实数4c的最大值为2$\sqrt{2}$-4，则c的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．