Question

设函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的单调递增区间．
（3）求f（x）在区间[0，

2

3

π]上的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=sin（2ω-

π

6

）+

3

2

，
（1）利用正弦函数的周期公式可求得ω=1；
（2）利用正弦函数的单调性由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得其单调递增区间；
（3）x∈[0，

2

3

π]⇒2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，利用正弦函数的单调性与有界性即可求得f（x）在区间[0，

2

3

π]上的取值范围．

解答： 解：f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+1=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin（2ω-

π

6

）+

3

2

，
（1）∵函数y=f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

2ω

=π，
解得：ω=1；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈π．
（3）∵x∈[0，

2

3

π]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，

5

2

]．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．