Question

已知函数f（x）=x²+2mx+2，x∈[-5，5]
（1）当m=-2时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数m的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（3）在（1）的条件下，设g（x）=f（x）+n-5，求实数n满足什么条件时函数g（x）在区间[0，4]上有且仅有一个零点？

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当m=-2时，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，分析函数的单调性，进而可得f（x）的最大值和最小值；
（2）函数f（x）=x²+2mx+2的图象是开朝上且以直线x=-m为对称轴的抛物线，若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，则m≤-5，或m≥5；
（3）g（x）的图象是开朝上且以直线x=2为对称轴的抛物线，故若g（x）在区间[0，4]上有且仅有一个零点，则△=16-4（n-3）=0．

解答： 解：（1）当m=-2时，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，x∈[-5，5]，
则f（x）在[-5，2]上为减函数，在[-5，5]上为增函数，
故当x=2时，f（x）的最小值为-2，
当x=-5时，f（x）的最大值为47，
（2）函数f（x）=x²+2mx+2的图象是开朝上且以直线x=-m为对称轴的抛物线，
若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，
则m≤-5，或m≥5，
故实数m的取值范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）
（3）在（1）的条件下，
g（x）=f（x）+n-5=x²-4x+n-3=（x-2）²-7+n，
由g（x）的图象是开朝上且以直线x=2为对称轴的抛物线，
故若g（x）在区间[0，4]上有且仅有一个零点，
则△=16-4（n-3）=0，
解得：n=7

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．