Question

已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为1，D为边BC上一点，

AD

•

BC

=0，向量

m

=（sinA，a），

n

=（sinB，c），且

m

∥

n

，则AD+BC的取值范围为（　　）

• A、（0，

  5

  +1）
• B、（2，

  5

  +1]
• C、（3，

  5

  +1）
• D、（2，3）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：计算题

分析：由已知，得出△ABC为等腰三角形，AD⊥BD，利用正弦定理得出AD+BC=f（A）=2sinA+1+cosA=1+

5

sin（A+θ），再利用三角函数性质求范围即可．

解答： 解：∵

AD

•

BC

=0，∴AD⊥BD，
∵向量

m

=（sinA，a），

n

=（sinB，c），且

m

∥

n

，
∴csinA=asinB，ca=cb，b=c，锐角△ABC为等腰三角形．
根据正弦定理得出BC=2RsinA=2sinA，
在RT△ABD中，AD=tanB×BD=cot

A

2

×

1

2

BC=

1+cosA

sinA

×2sinA=1+cosA，
所以AD+BC=2sinA+1+cosA=1+

5

sin（A+θ），
其中tanθ=

1

2

，θ为锐角（即θ=arctan

1

2

），A∈(0，

π

2

)．
当sin（A+θ）=1时，取得最大值

5

+1，当A→0时，sin（A+θ）→sinθ=

5

5

，此时AD+BC→2．
综上所述AD+BC的取值范围（2，

5

+1]
故选：B．

点评：本题考查三角知识的综合应用，建立AD+BC=f（A）=2sinA+1+cosA是关键．