Question

【题目】已知奇函数.

（1）试确定的值；

（2）判断的单调性，并证明之

（3）若方程在上有解，求证：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析;（3）见解析.

【解析】

试题分析：

(1)利用奇函数满足，或者利用奇函数过坐标原点可求得.

(2)结合(1)中的结论可得在上是增函数.留言单调性的定义，任取，且，计算可得，即函数在上是增函数.

(3)由题意，原问题即在上有解，则 结合函数的单调性可得，，求解不等式则有.

试题解析：

（1）（定义法）∵是奇函数，

∴，

即，

化简整理得.

∵，∴，即.

(特殊值法) ∵在上是奇函数，

∴，即.

∴.

（2）解: 在上是增函数.证明如下：

由可知，.

任取，且，则.

∴ ，

∴函数在上是增函数.

（3）证明：∵时，，

∴.

若方程，即在上有解，则

∵在上是增函数，

∴，

即，

∴，故.