Question

12．四边形ABCD中，AD∥BC，AB=2，AD=1，A=$\frac{2π}{3}$．
（1）求sin∠ADB；
（2）若sin∠BDC=$\frac{2π}{3}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出BD=$\sqrt{7}$，由此利用正弦定理能求出sin∠ADB．
（2）设∠CBD=α，则sin$α=\frac{\sqrt{21}}{7}$，cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，从而sinC=sin（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，由正弦定理求出BC=7，四边形ABCD的面积S=S_△BCD+S_△ABD，由此能求出结果．

解答 解：（1）在△ABD中，AB=2，AD=1，A=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA=4+1-$2×2×1×cos\frac{2π}{3}$=7，∴BD=$\sqrt{7}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sinA}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，
即$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{2}{sin∠ADB}$，
解得sin$∠ADB=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）设∠CBD=α，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=α，∴sin$α=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，∴cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵$∠BDC=\frac{2π}{3}$，∴sinC=sin（$\frac{π}{3}-α$）=sin$\frac{π}{3}$cosα-cos$\frac{π}{3}$sinα=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sinC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，即$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{21}}{14}}=\frac{BC}{sin\frac{2π}{3}}$，解得BC=7，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC×sinα$=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×7×\frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}AB×AD×sinA=\frac{1}{2}×2×1×sin\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形ABCD的面积：
S=S_△BCD+S_△ABD=$\frac{7\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．