Question

4．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关，说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件直接列出2×2联列表，利用公式求出K，然后判断猜对歌曲名称与否和年龄有关．
（Ⅱ）设事件A为3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间，求出20～30岁，30～40岁的人数，然后求解概率即可．

解答 解：（Ⅰ）

年龄/正误	正确	错误	合计
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合计	20	100	120

$k=\frac{{120{{（70×10-30×10）}^2}}}{20×100×40×80}=3＞2.706$
有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．
（Ⅱ）设事件A为3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间，由已知得20～30岁之间的人数为2人，
30～40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，
事件A的结果有16种，$P（A）=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查对立检验的应用，古典概型的概率的求法，考查计算能力．