Question

17．$\frac{1}{2}+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}）+…+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{2^{10}}}}}）$的值为（　　）

• A． 7+$\frac{1}{2^9}$
• B． 9+$\frac{1}{{{2^{10}}}}$
• C． 11+$\frac{1}{{{2^{11}}}}$
• D． 7+$\frac{1}{{{2^{10}}}}$

Answer 1

分析 利用等比数列求和公式求出通项的和，然后求解即可．

解答 解：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}）+…+（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{10}}）$
=$\frac{1}{2}+$$1-\frac{1}{{2}^{2}}$+$1-\frac{1}{{2}^{3}}$+$1-\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$1-\frac{1}{{2}^{10}}$
=10-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{10}}）$
=10-1+$\frac{1}{{2}^{10}}$
=9+$\frac{1}{{2}^{10}}$．
故选：B．

点评 本题考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力．