Question

18．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=lg$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=lg$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=lgn-lg（n+2），利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，
化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
解得a_n=$\frac{1}{n}$．
（II）b_n=lg$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=lgn-lg（n+2），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=（lg1-lg3）+（lg2-lg4）+（lg3-lg5）+…+[lg（n-1）-lg（n+1）]+[lgn-lg（n+2）]
=lg1+lg2-lg（n+1）-lg（n+2）
=lg2-lg[（n+1）（n+2）]．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．