Question

4．已知等比数列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{9}$，a₁+6a₂=1．
（Ⅰ） 求{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）利用对数的运算性质与等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由题设得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=\frac{1}{9}}\\{{a}_{1}+6{a}_{1}q=1}\end{array}\right.$，解得a₁=q=$\frac{1}{3}$．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
（II）∵log₃a_n=-n．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．