Question

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．

（1）求证：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1－BD－A的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，根据中位线定理可知PD∥B1C，

根据线面平行即可得证；（2）由于AA1⊥底面ABC，且BD⊥AC，所以A1D⊥BD，可知∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角，在三角形A1DA 中，tan∠A1DA=，即可求出二面角的平面角为，即可求出二面角；（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足，由于BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，可证BD⊥平面A1ACC1，即可BD⊥AM，可证明AM⊥平面A1DB，连接MP，可知∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角，在Rt△AA1D中就可以求出∠APM的正弦值，进而求出结果.

【解析】
（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

∵D为AC中点，∴PD∥B1C，

又∵PD平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；

（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC，

又∵BD⊥AC，∴A1D⊥BD，∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角，

∵AA1=，AD=AC=1，∴tan∠A1DA=，∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是；

（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足，

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM平面A1ACC1，∴BD⊥AM，

∵A1D∩BD=D，∴AM⊥平面A1DB，连接MP，

则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角，

∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=，∴sin∠APM=，∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为. 

 

考点：1.线面平行的判定；2.二面角大小；3线面成角大小.