Question

18．已知双曲线 C₁：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（ a＞0，b＞0），圆 C₂：x²+y²-2ax+$\frac{3}{4}$a²=0，若双曲线C₁ 的一条渐近线与圆 C₂ 有两个不同的交点，则双曲线 C₁ 的离心率的范围是（　　）

• A． （1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）
• B． （$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，+∞）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由圆的方程求得圆心及半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到渐近线的距离小于半径，求得a和c关系，利用离心率公式即可求得双曲线C₁的离心率的范围．

解答 解：双曲线 C₁：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（ a＞0，b＞0），渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0，
圆 C₂：x²+y²-2ax+$\frac{3}{4}$a²=0，（x-a）²+y²=$\frac{1}{4}{a}^{2}$，圆心（a，0），半径$\frac{1}{2}$a，
由双曲线C₁ 的一条渐近线与圆 C₂ 有两个不同的交点，
则$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜$\frac{1}{2}$a，即c＞2b，
则c²＞4b²=4（c²-a²），即c²＜$\frac{4}{3}$a²，
双曲线 C₁ 的离心率e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由e＞1，
∴双曲线 C₁ 的离心率的范围（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），
故选A．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．